Les entiers naturels en bases 2, 10 et 16.

La base de numération indique à la fois le nombre de chiffres nécessaires et suffisants à l'écriture d'un nombre et la taille des paquets que l'on constitue.

Ces paquets seront des puissances de la base : b³, b², b¹. Toutes les bases fonctionnent suivant le même principe où la position du chiffre influe sur sa valeur.

On admet que pour tout entier naturel a, il existe toujours un nombre n tel que ce nombre a, exprimé en base b, s'écrira c_nbⁿ+...+c₂b²+c₁b¹+c₀b⁰, où les c₀,c₁,c₂ … sont les chiffres utilisables dans la base b.

I – La base 10

538 = 5x10² + 3x10¹ + 8x10⁰

En base 10, on a besoin de 10 chiffres : 0, 1, 2, … , 9 et on réalise des paquets de 10, 100, 1000...

Dans 1515 le 5 de gauche signifie 5 centaines ou 500 tandis de le 5 de droite signifie 5 unités.

Remarque : le système de numération romain n'est pas un système de numération par position.

Exemple : dans le nombre XXI, qui vaut 21, chaque X vaut 10.

II – La base 2

En base 2, il n'y a que deux chiffres 0 et 1 et l'on réalise des paquets de 2, 4, 8, 16, ….

1) De la base 2 vers la base 10

1011₂ = 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰

= 8 + 0 + 2 + 1

= 11₁₀

11001₂ = 1x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1

= 25₁₀

11111111₂ = 1x2⁷ + 0x2⁶ + 1x2⁵ + 1x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 1x2¹ + 1x2⁰

= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

= 255₁₀

2) De la base 10 vers la base 2

a) Utilisation du tableau des puissances décroissantes de 2 .

128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1

67₁₀ = 1 0 0 0 0 1 1

= 1000011₂

128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1

208₁₀ = 1 1 0 1 0 0 0 0

= 11010000₂

1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1

2019₁₀ = 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1

= 11111100011₂

b) Divisions successives

58

2

0

29

2

1

14

2

0

7

2

1

3

2

1

1

2

1

0

FIN

Ainsi, on lit de bas en haut les chiffres pour reconstituer la valeur en base 2 58₁₀=111010₂

III – La base 16

1) De la base 16 vers la base 10

a) Les chiffres de la base 16

En base 16, on aura besoin de 16 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F et nous réaliserons des paquets de 16, 256, 4096 …

b) Convertir

A₁₆ = 10₁₀

B₁₆ = 11₁₀

_{…............}

F₁₆ = 15₁₀

2B₁₆ = 2*16¹ + 11*16⁰

= 32 + 11

= 43₁₀

1A4₁₆ = 1*16² + 10*16¹ + 4*16⁰

= 256 + 160 + 4

= 420₁₀

A81₁₆ = 10*16² + 8*16¹ + 1*16⁰

= 2560 + 128 + 1

= 2689₁₀

237₁₆ = 2*16² + 3*16¹ + 7*16⁰

= 512 + 48 + 7

= 567₁₀

#1AFF = 1*16³ + 10*16² + 15*16¹ + 15*16⁰

= 4096 + 2560 + 240 + 15

= 6911₁₀

2) De la base 10 vers la base 16

Divisions successives

207|16

15|12|16

12|0 ->fin

207|16

F|12|16

C|0 ->fin

On lit de bas en haut les chiffres pour reconstituer la valeur en base 16.

Ainsi 207₁₀ = #CF

On peut aussi utiliser un tableau des puissances décroissantes de 16

IV – De la base 2 à 16 et de 16 à 2

1) De la base 2 à 16

Un tableau à connaître par cœur :

Base 10	Base 2	Base 16
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
10	1010	A
11	1011	B
12	1100	C
13	1101	D
14	1110	E
15	1111	F

Des groupements de 4 chiffres à partir de la droite, permettent une conversion très rapide,

1000 1101

= #8 D

1010 1111

= #A F

0011 0111 1011

= #3 7 B

2) De la base 16 vers la base 2

On remplace chaque chiffre par sa valeur en base 2

#37A = 0011 0111 1010

#81 = 1000 0001

#FDA3 = 1111 1101 1010 0011

V – Exercice corrigé de synthèse

A partir des valeurs noires, retrouver celles en rouges.

Base 2	Base 10	Base 16
1101101	109	6D
10110011	179	B3
10111011	187	BB
111 1110 0011	2019	7E3
11100	28	1C
10000000011001	8217	2019

VI – Additions en binaire

La table d'addition en base 2 est très réduite :

+	0	1
0	0	1
1	1	10

1+1 = 10 (en binaire)

1+1+1 = 11

_{1 1 1}

111101

+ 101110

= 1101011

Vérification en base 10 : 61 + 46 = 107

_{1 1 1}

11010

+ 11110

= 111000

Vérification en base 10 : 26 + 30 = 56

₁

_{1 0 1}

1110

+ 1111

+ 1011

= 101000

Vérification en base 10 : 14 + 15 + 11 = 40